Transformation de Box-Cox

Les transformations de Box-Cox sont généralement utilisées en régression linéaire pour tenter de corriger :
- la non-linéarité d'un régresseur
- l'hétéroskédasticité des résidus.
- corriger la normalité de la distribution d'une variable (ex: distribution log-normale d'une variable X dont il faut corriger la normalité qui donne une distribution Y qui elle est normale).

Plutôt que de mettre ce régresseur tel quel dans le modèle, on peut le mettre au carré ou prendre son logarithme. La transformation de Box-Cox est une méthode de généralisation de cette approche.
Elle est donnée par l'équation:
Ta(y)=[(y^a)-1]/a
pour a>0
On peut aisément montrer que pour la limite a=0, la transformation de Box-Cox revient à prendre le logarithme de y.

Rappel du calcul des dérivées:
Si y=a^x alors
log(y)=xlog(a)
On différencie les deux membres de l'égalité
dy/y=1*log(a)*dx
dy/dx=y*log(a)
avec y=a^x
dy/dx=a^x*(log(a))

Appliqué à la transformation de Box-Cox cela nous donne:
lim (a->0) [(y^a)-1]/a
On applique la règle de l'Hospital car il s'agit de la recherche de limite d'un quotient. Remarquez que l'on dérive par rapport à a.
par la démonstration précédente, au numérateur il reste : ((y^a)-1)'=(y^a*log(y)-0)
Au dénomiteur la dérivée de a par rapport à a vaut 1. Il reste:
lim (a->0) Ta(y)=y^a*logy=y^0logy=logy.

Le cas particulier d'un transformation de Box-Cox sur une variable avec un a=0 revient à prendre le logarithme de cette variable.